確率過程の中の重要なクラスであるマルチンゲールについて講義する。主に離散時間の場合を扱い,停止時刻と任意抽出定理,各種のマルチンゲール不等式,収束定理とこれらの応用について述べる。連続時間マルチンゲールにも簡単に触れ,その例としてブラウン運動やポアソン過程を取り上げる。

時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が重要な道具として用いられる。この講義では数理手法Ⅳに続き、離散時間の確率過程論の講義を行った後、連続時間の確率過程の理論について講義を行う。また、ファイナンスへの応用として、ブラック・ショールズ・マートンによるオプション価格理論を扱う。

時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が重要な道具として用いられる。この講義では数理手法Ⅳに続き、離散時間の確率過程論の講義を行った後、連続時間の確率過程の理論について講義を行う。また、ファイナンスへの応用として、ブラック・ショールズ・マートンによるオプション価格理論を扱う。

時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が重要な道具として用いられる。この講義では数理手法Ⅳに続き、離散時間の確率過程論の講義を行った後、連続時間の確率過程の理論について講義を行う。また、ファイナンスへの応用として、ブラック・ショールズ・マートンによるオプション価格理論を扱う。

時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が重要な道具として用いられる。この講義では離散時間の確率過程論、特にマルチンゲール理論に関しての講義を行う。この講義では、測度論や積分論等の数学の専門的知識は前提とせず、とくに前半では確率空間が有限集合である場合を取り扱う。また、マルチンゲール理論のファイナンスへの簡易的な応用も扱う。

時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が重要な道具として用いられる。この講義では離散時間の確率過程論、特にマルチンゲール理論に関しての講義を行う。この講義では、測度論や積分論等の数学の専門的知識は前提とせず、とくに前半では確率空間が有限集合である場合を取り扱う。また、マルチンゲール理論のファイナンスへの簡易的な応用も扱う。

時間とともに変化する不確実な現象を記述し理解するには、確率過程論が重要な道具として用いられる。この講義では離散時間の確率過程論、特にマルチンゲール理論に関しての講義を行う。この講義では、測度論や積分論等の数学の専門的知識は前提とせず、とくに前半では確率空間が有限集合である場合を取り扱う。また、マルチンゲール理論のファイナンスへの簡易的な応用も扱う。

この講義では，2020年にKhoa Leによって導入された「確率的縫合補題 (Stochastic sewing lemma)」について解説する．決定論的縫合補題 (sewing lemma) はヤング積分におけるリーマン和の収束を証明する手法である「1点抜き論法」の抽象化として，Feyel--de La Pradelle, Gubinelliによって導入された．加法性$\delta A_{s,u,t}:=A_{s,t}-A_{s,u}+A_{u,t}=0$を満たさない関数$A$に対して，$\delta A_{s,u,t}$の定量評価から，短い時間区間でこれらの和を取り，「繋ぎ合わせる」ことで，全体として加法的な関数$I$（積分）を構成できるというものである．これによって，例えば，ラフパス積分における"リーマン和"の収束を比較的簡単に証明することができる．確率的縫合補題は決定論的縫合補題を確率過程に対して拡張したものであり，さまざまな応用が知られている．この講義では，その応用の一つとして，確率微分方程式の数値解析について解説する． In this lecture, we will explain the "Stochastic Sewing Lemma" introduced by Khoa Le in 2020. The deterministic sewing lemma was originally introduced by Feyel--de La Pradelle and Gubinelli as an abstraction, a technique used to prove the convergence of Riemann sums in Young integration. For a function $A$ that does not satisfy additivity, i.e., $\delta A_{s,u,t} := A_{s,t} - A_{s,u} + A_{u,t} \neq 0$, the lemma allows us to construct a globally additive function $I$ (the integral) by taking the sum over small time intervals and "sewing" them together, provided that we have a quantitative estimate of $\delta A_{s,u,t}$. This framework significantly simplifies the proof of convergence for "Riemann sums" in rough path integrals, for instance. The stochastic sewing lemma is an extension of this deterministic version to stochastic processes and has found a wide range of applications. In this lecture, as one of such applications, we will discuss the numerical analysis of stochastic differential equations.

個体・行動レベルでの運動の発現、制御、学習・記憶に関わる神経機構について解説する。本講義では、特に小脳皮質、大脳基底核および大脳皮質運動関連領域について注目し、それらのニューロン活動、シナプスにおける情報伝達、タンパク質・分子・遺伝子レベルでの知見を紹介し、理解を深める。

個体・行動レベルでの運動の発現、制御、学習・記憶に関わる神経機構について解説する。本講義では、特に小脳皮質、大脳基底核および大脳皮質運動関連領域について注目し、それらのニューロン活動、シナプスにおける情報伝達、タンパク質・分子・遺伝子レベルでの知見を紹介し、理解を深める。