この講義では,2020年にKhoa Leによって導入された「確率的縫合補題 (Stochastic sewing lemma)」について解説する.決定論的縫合補題 (sewing lemma) はヤング積分におけるリーマン和の収束を証明する手法である「1点抜き論法」の抽象化として,Feyel--de La Pradelle, Gubinelliによって導入された.加法性$\delta A_{s,u,t}:=A_{s,t}-A_{s,u}+A_{u,t}=0$を満たさない関数$A$に対して,$\delta A_{s,u,t}$の定量評価から,短い時間区間でこれらの和を取り,「繋ぎ合わせる」ことで,全体として加法的な関数$I$(積分)を構成できるというものである.これによって,例えば,ラフパス積分における"リーマン和"の収束を比較的簡単に証明することができる.確率的縫合補題は決定論的縫合補題を確率過程に対して拡張したものであり,さまざまな応用が知られている.この講義では,その応用の一つとして,確率微分方程式の数値解析について解説する.
In this lecture, we will explain the "Stochastic Sewing Lemma" introduced by Khoa Le in 2020. The deterministic sewing lemma was originally introduced by Feyel--de La Pradelle and Gubinelli as an abstraction, a technique used to prove the convergence of Riemann sums in Young integration. For a function $A$ that does not satisfy additivity, i.e., $\delta A_{s,u,t} := A_{s,t} - A_{s,u} + A_{u,t} \neq 0$, the lemma allows us to construct a globally additive function $I$ (the integral) by taking the sum over small time intervals and "sewing" them together, provided that we have a quantitative estimate of $\delta A_{s,u,t}$. This framework significantly simplifies the proof of convergence for "Riemann sums" in rough path integrals, for instance. The stochastic sewing lemma is an extension of this deterministic version to stochastic processes and has found a wide range of applications. In this lecture, as one of such applications, we will discuss the numerical analysis of stochastic differential equations.