学部後期課程
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最終更新日:2023年10月20日

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数学3

物理学への応用を念頭において、微分幾何学とトポロジーの基礎を学ぶ。

例えばベリー接続など、本来は微分幾何学の対象であった接続の概念は、今後ますます自然科学や科学技術全般の中に浸透していくことが予想される。接続の概念を最も素朴な3次元空間中の曲面論の中で感覚的に自然に理解することが、本講義の最大の目的である。
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時間割/共通科目コード
コース名
教員
学期
時限
FEN-CO3130L1
FEN-CO3130L1
数学3
出口 哲生
A1 A2
水曜1限
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講義使用言語
日本語
単位
2
実務経験のある教員による授業科目
NO
他学部履修
開講所属
工学部
授業計画
主題: 微分幾何とトポロジー  接続とリーマン幾何入門 1. 平面曲線と空間曲線  平面曲線 弧長、曲率の定義 曲率の幾何学的意味  例 楕円  曲率の任意変数の公式、ガウス表示、閉曲線の回転数  空間曲線 曲率 捩れ率 Frenet-Serret の公式 例 常螺旋  曲線に沿った質点の運動 向心力の導出   2. 空間曲面の小域的理論  空間曲面の二変数表示の例 球面、回転放物面、輪環面(トーラス)  第一基本形式  接平面上の接ベクトルの長さを与える     第二基本形式  曲面の臨界値近くの形状(ヘッセ行列)  曲面上の曲線の曲率: 測地的曲率と法曲率    微分についての注意 (高木貞治「解析概論第2章」より) 3. ガウス曲率と平均曲率 曲面の曲がり具合を表す一つの指標  主曲率: 曲面上の点を通る曲線の法曲率の極値   ガウス曲率の幾何学的意味 ガウスの球面表示   平均曲率の幾何学的意味 極小曲面  Christoffel 記号の導入 4. 正規直交標構を用いる方法(2章4節)と接続  接続形式の導入   共変微分と平行移動(3章4節)  例: 球面上のベクトルの平行移動   コリオリ力やフーコーの振り子、緯線に沿ったベクトルの平行移動  5. 測地線(3 章5 節)    測地線の定義: 測地的曲率ベクトルと法曲率ベクトル  測地線の例: 大円(球面上の測地線)、円筒面や輪環面上の測地線  測地線の方程式   最短線としての測地線 (3 章6節)    変分原理 (仮想仕事の原理、 最小作用の原理) 6. 2変数の微分形式(2章5節)   ベクトル解析の微分演算(発散、回転)を微分形式で表す  微分形式を使う方法(2章6節) 第一構造式、第二構造式 7. 曲面上の幾何(3章)  リーマン計量  曲面の構造方程式(3章2節)  ガウスの驚くべき定理 8. 微分形式の積分と一般化ストークスの定理(4章1節)  Gauss-Bonnet の定理 境界のある領域の場合 9. Gauss-Bonnet の定理 閉曲面の場合  オイラー数、曲面の種数(genus) 10. 特殊相対性理論の基礎 (相対性理論の1章と2章)  光速度不変の原理、ローレンツ変換  反変ベクトル、 共変ベクトル  四元ベクトル、固有時間 11. 一般相対性理論の基礎  一般共変性の要請  慣性力(コリオリ力や遠心力)と真の力  等価原理  12. リーマン幾何入門    計量テンソル、共変微分(接続)、ベクトルの平行移動(再登場)  リーマンの曲率テンソル 13. 重力場の方程式  運動の軌跡としての測地線 (Christoffel 記号と接続形式の関係)  アインシュタイン方程式
授業の方法
授業中、どの時点で質問をしても構いません。
成績評価方法
期末試験
教科書
著 「楕円積分と楕円関数 」(日本評論社 )教科書は購入を強く勧めます。
履修上の注意
基礎を固める(分野別基礎)