学部前期課程
過去（2023年度）の授業の情報です
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最終更新日：2024年10月1日
授業計画や教室は変更となる可能性があるため、必ずUTASで最新の情報を確認して下さい。
UTASにアクセスできない方は、担当教員または部局教務へお問い合わせ下さい。
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微分積分学②
微分積分学②
代数学，幾何学とともに，数学の根幹をなす解析学について，その基本的な考え方や方法を学ぶ．力学における運動方程式などに代表されるように，自然界の多くの現象が，微分積分学を用いて記述される．微分積分学は，あらゆる科学技術の基礎となっている．微分積分学は17世紀末に，ニュートンやライプニッツらによって創成された．ニュートンは量の変化の記述に注目し，速度，加速度などの物理量を表現するために微分の概念を導入した．「微分積分学の基本定理」により，区分求積法によって定義される積分は，微分の逆操作であることが，明確に認識されるようになった．
微分積分学では，極限をとること，無限和をとることなどの操作が重要な役割を果たす．このような微分積分学の基礎となる極限の厳密な定義は，19世紀後半から整えられていった．この授業では，「数理科学基礎」で学んだ極限の扱いに基づき，微分積分学の基礎と応用を学ぶ．具体的な項目は以下の通りである． S2タームで項目1,2を扱い，Aセメスターで項目3～6を扱うことを目安とするが，担当教員によって，順序や内容に一部変更が加えられる場合がある．
1. 一変数関数の微分 (微分の基本性質，テーラーの定理，テーラー展開)
2. 多変数関数の微分 (偏微分と全微分，合成関数の微分の連鎖律)
3. 多変数関数の微分（続き）(高階偏微分，多変数のテーラーの定理とその応用)
4. 一変数関数の積分 (区分求積法，微分積分学の基本定理)
5. 多変数関数の積分 (多重積分と累次積分，多重積分の変数変換公式)
6. 無限級数と広義積分 (関数列の収束，広義積分)
実数の連続性に基づく微分積分学の基礎の厳密な展開は，2年次Sセメスターの総合科目「解析学基礎」で学ぶことができる．将来，本格的に数学を使う分野に進学しようという場合は「解析学基礎」によって微分積分学の理論的基礎を修得することをすすめる．なお，「解析学基礎」は1年次Sセメスターでも履修することができる．また，2年次Sセメスターの総合科目として，「微分積分学」の直接的な続きにあたる「微分積分学続論」，および「微分積分学」で学んだ事項の応用にあたる「常微分方程式」，「ベクトル解析」が開講される．
微分積分学では，極限をとること，無限和をとることなどの操作が重要な役割を果たす．このような微分積分学の基礎となる極限の厳密な定義は，19世紀後半から整えられていった．この授業では，「数理科学基礎」で学んだ極限の扱いに基づき，微分積分学の基礎と応用を学ぶ．具体的な項目は以下の通りである． S2タームで項目1,2を扱い，Aセメスターで項目3～6を扱うことを目安とするが，担当教員によって，順序や内容に一部変更が加えられる場合がある．
1. 一変数関数の微分 (微分の基本性質，テーラーの定理，テーラー展開)
2. 多変数関数の微分 (偏微分と全微分，合成関数の微分の連鎖律)
3. 多変数関数の微分（続き）(高階偏微分，多変数のテーラーの定理とその応用)
4. 一変数関数の積分 (区分求積法，微分積分学の基本定理)
5. 多変数関数の積分 (多重積分と累次積分，多重積分の変数変換公式)
6. 無限級数と広義積分 (関数列の収束，広義積分)
実数の連続性に基づく微分積分学の基礎の厳密な展開は，2年次Sセメスターの総合科目「解析学基礎」で学ぶことができる．将来，本格的に数学を使う分野に進学しようという場合は「解析学基礎」によって微分積分学の理論的基礎を修得することをすすめる．なお，「解析学基礎」は1年次Sセメスターでも履修することができる．また，2年次Sセメスターの総合科目として，「微分積分学」の直接的な続きにあたる「微分積分学続論」，および「微分積分学」で学んだ事項の応用にあたる「常微分方程式」，「ベクトル解析」が開講される．
時間割／共通科目コード
コース名
教員
学期
時限
50170
CAS-FC1874L1
微分積分学②
足助 太郎
月曜4限
マイリストに追加
マイリストから削除
講義使用言語
日本語
単位
2
実務経験のある教員による授業科目
NO
他学部履修
不可
開講所属
教養学部（前期課程）
51173
CAS-FC1874L1
微分積分学②
足助 太郎
月曜4限
マイリストに追加
マイリストから削除
講義使用言語
日本語
単位
2
実務経験のある教員による授業科目
NO
他学部履修
不可
開講所属
教養学部（前期課程）
授業計画
以下は標準的なものであるが，実際には順序を多少入れ替えて講義する．また，授業の前または後に合計15分程度、質疑応答の時間を設ける予定である．具体的には講義中に述べる．
S2ターム
1. 一変数関数の微分：
「数理科学基礎」で学んだ関数の極限の概念と一変数関数の微分の定義に基づいて，微分の基本的な性質を論ずる．平均値の定理を用いてテーラーの定理を示し，関数をべき級数として表示するテーラー展開を扱う．
2. 多変数関数の微分 ：
二変数関数の場合を中心として偏微分と全微分を扱う．二変数の関数のグラフの接平面，合成関数の微分の連鎖律を学ぶ．また，パラメータ表示された曲線の速度ベクトル，平面曲線の法線ベクトルを扱う．二変数関数の陰関数定理についてもふれる．
Aセメスター
3. 多変数関数の微分（続き）：
高階偏微分，偏微分の順序交換ができるための十分条件，多変数関数のテーラーの定理を扱う．また，二変数関数の極大極小問題，有界閉領域における最大最小問題を考える．
4. 一変数関数の積分 ：
区分求積法に基づいて定積分の性質を論じる．定積分の区間の端点を動かすことによって不定積分を導入し，「不定積分はもとの関数の原始関数である」という微分積分学の基本定理を得る．また，具体的に不定積分が求められる積分の計算を，広義積分，すなわち，無限区間における積分や区間の端で発散する関数の積分も含めて，主に演習で扱う．
5. 多変数関数の積分 ：
二変数関数の場合を中心にして，リーマン積分による多重積分の定義を与える．さらに，多重積分を一変数の積分の繰り返しとして累次積分で表示する．また，ヤコビ行列式を用いた多重積分の変数変換の公式（直交座標と極座標の変換など）を扱い，その応用（面積，体積，平均値など）を論ずる．
6. 無限級数と広義積分 ：
べき級数などの関数列の収束，とくに，関数項の級数についての優級数定理，べき級数の収束半径，関数列の一様収束などについて学ぶ．また，極限と微分，積分の順序交換がどのような場合に許されるかを考察する．さらに，広義積分の収束条件について論ずる．広義積分の例として，ガウスの正規分布関数の無限区間における積分を計算する．
授業の方法
授業は講義形式で行うが，適宜小テストやレポートを課すことがある．付属の演習は講義と一体である．
成績評価方法
主として定期試験によるが，小テストやレポートを課した場合にはこれらを含めて評価する．
履修上の注意
この科目は，S2タームに開講された「微分積分学①」と一体である．
また，S1タームに開講された「数理科学基礎」の内容は既知とする．
講義は原則として対面形式で行うが，感染症の流行の状況によってはオンラインとする場合がある．
