数理科学特別講義XII

プロファイル分解定理とは、関数の有界列に対して、その有界性の仮定のみから関数列の形状に関する情報を引き出す技術である。これは、変分問題の解析など、与えられた関数列の点列コンパクト性を示したい場面において、その関数列の取り得る形状の範囲を特定するために用いられる。
この講義では、プロファイル分解定理に焦点をあて、初歩から詳しく解説する。前半では、Lieb のコンパクト性定理に基づくプロファイル分解を紹介し、それを用いた非線形楕円型方程式の解析を紹介する。
後半では、分散型評価やストリッカーツ評価に基づくプロファイル分解を紹介する。時間があれば、非線形シュレディンガー方程式の時間大域挙動の解析への応用を紹介したい。
/The profile decomposition theorems are the technique to obtain information from a bounded sequence of functions, without any further assumption other than the boundedness assumption. This technique is used, for instance, in the analysis of variational problems.
In this lecture, we introduce the technique in detail. In the first part, we conider the profile decomposition based on Lieb's compactness result and its application to a study of the nonlinear elliptic equation. In the latter part, we study those associated with dispersive estimates or Strichartz estimate. If time allows, we will see the application to the study of large time behavior of nonlinear Schrodinger equation.