数理科学特別講義X

　Lefschetzファイバー空間は、射影代数多様体のトポロジーを調べるためにLefschetzが導入したいわゆるLefschetzペンシルに由来する概念である。1980〜90年代の楕円曲面の微分同相類の分類に関する研究や、20世紀末に見出されたシンプレクティック幾何学との関係などを経て、Lefschetzファイバー空間は多様体を研究するための基本的な構造として広く認知されるようになった。4次元トポロジーにおいてLefschetzファイバー空間を考えることの魅力の一つは、モノドロミー表現を通して曲面の写像類群との密接な関係が生じることにある。すなわち、4次元シンプレクティック多様体の位相幾何学的な研究が、写像類群の元の組み合わせ的な研究に帰着される。
　本講義では、4次元多様体の構成と改変の観点から、Lefschetzファイバー空間の近年の発展について解説する。特に、Lefschetzファイバー空間の構成においてとりわけ重要なモノドロミー置換と呼ばれる操作について詳しく述べる。写像類群の様々な関係式から、エキゾチックな多様体対、複素構造を持たない多様体、複素解析的でないファイバー構造などが引き起こされることを具体例を交えつつ紹介する。