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最終更新日：2026年3月16日

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数理科学特別講義III

写像の特異点論と数え上げ幾何学
ポアンカレ・ホップの定理やモースの等式などのように，特異点の出現と特性類は切っても切れない関係であって，それらの関係を表すトム多項式理論を講じます．これは，特異点の分類理論および微分トポロジー，コボルディズム理論，代数幾何学にまたがる内容であって，ある種のモジュライ空間—写像の局所的および半局所的特異点の分類スタック—の上の交差理論と言ってよいものです．この理論は，古典的および現代的な数え上げ幾何学の両方に一貫した洞察を提供します．特にヒルベルトの第15問題への満足のいく最終的な解答に貢献し，そのような古典問題を数理物理学などから触発された数え上げ問題（オコウンコフの安定エンベロープほか）と結び付く有り様を概観します．ある意味で，２０世紀中葉の巨人，ルネ・トムの数学に対するオマージュです．
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時間割／共通科目コード
コース名
教員
学期
時限
45901-57
GMA-MA6X03L1
数理科学特別講義III
大本　亨
A1 A2 W
集中
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講義使用言語
日本語
単位
2
実務経験のある教員による授業科目
NO
他学部履修
可
開講所属
数理科学研究科
授業計画
１．古典的数え上げ公式の博物学とヒルベルト第１５問題 ２．写像の特異点論・速成コース／コホモロジー環（交叉環） ３．ベクトル束の特性類／退化跡とトム多項式 ４．トーラス作用と不動点公式／ヒルベルトスキーム ５．高次トム多項式（モティビック不変量）と安定エンベロープ ６．多重特異点とランドウェーバー・ノヴィコフ類 ７．応用：写像芽の消滅トポロジー・双曲複素幾何（小林予想）・最尤幾何 各２回ほど． 進度に応じて，内容や順番の変更が有り得ます．
授業の方法
通常の数学科目と同様に板書中心で講義する予定ですが，スライドも用います．講義で使用したスライドはweb上にアップします．
成績評価方法
各回の平常点（30%）とレポート（70%）を総合的に評価します．
履修上の注意
授業を聞いてわからないことや疑問に思ったことがあれば，随時，質問してください．トポロジーから代数幾何まで雑多な話題に関わるので，いろいろな専門分野の学生にできるだけわかりやすい授業を心がけます．
その他
概ね，次の文献を元にします． ・T. Ohmoto, Thom polynomials for singularities of maps, Handbook of Geometry and Topology of Singularities VIII, Springer, pp.375-440 (2026, Jan) https://doi.org/***** ・T. Ohmoto, Universal polynomials for multi-singularity loci of maps, https://arxiv.org/***** ・大本　亨，２１世紀のルネ・トム〜生誕１００年に寄せて https://www.mathsoc.jp/***** ・R. Rimanyi, Thom polynomials. A primer, Indag. Math. (2025) onlline, https://arxiv.org/*****
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