代数構造論Ⅰ

20世紀後半に可換環のホモロジカルな研究が急速に発展した。その先駆けとなったのが、A. Auslander、D. Buchsbaum、J.-P. Serreによる、大域次元を用いた正則局所環の特徴付けである。この研究をさらに推し進めて、Cohen-Macaulay環の概念が導入された。1960年代に入ると、Grothendieckによってホモロジカルな研究は体系化され、Gorenstein環、標準加群、局所コホモロジーなど、今日の可換環論には欠かすことのできない道具が整備された。本講義ではこれらの事項について解説し、可換環論におけるホモロジカルな手法の基礎を習得することを目標とする。

In the latter half of the twentieth century, homological methods in commutative algebra developed rapidly. A key milestone was the characterization of regular local rings in terms of global dimension, due to Auslander-Buchsbaum and Serre. Pushing this line of research further led to the introduction of Cohen–Macaulay rings. In the 1960s, Grothendieck systematized the homological approach, developing basic tools for modern commutative algebra such as Gorenstein rings, canonical modules, and local cohomology. In this course, we will discuss these topics and aim to provide a foundation in homological methods in commutative algebra.