数物先端科学Ⅷ

箙（有向グラフ）の表現には鏡映関手と呼ばれる、向き付けの異なる箙の表現を結びつける操作がある。これはルート系の鏡映を圏化するもので、導来圏同値のもっとも基本的な例を与える。傾加群および傾複体(tilting complex)は、一般の環に対する鏡映関手の拡張と言える。今世紀に入り、傾複体よりも広い準傾複体(silting complex)の重要性が明らかとなった。準傾複体は代数的t構造と呼ばれる導来圏の部分圏と一対一に対応し、また異なる準傾複体を結びつける変異(mutation)と呼ばれる操作が存在する。中でも2項準傾複体は、τ傾加群と呼ばれる特別な加群や、特別なねじれ類と呼ばれる加群圏の部分圏と一対一に対応する。最近では、ねじれ類のなす束の構造や、2項準傾複体から定まる扇の構造が盛んに研究されている。
この講義では、以上の内容に関して概説を与える。なるべく平易な用語を用い、過度に抽象的になることを避ける予定である。