計算科学・量子計算における情報圧縮

現在の計算科学では、銀河のダイナミクスから量子ビット間のエンタングルメントまで多岐にわたる問題が研究対象となっている。これら多様な問題を計算機で扱う際には、対象系の巨大な自由度をいかに圧縮し、効率的に有限のメモリ内で表現するかが、共通する課題となる。とくに多体問題では、しばしば、構成要素数に対して指数関数的に自由度が増大するため、膨大な自由度をいかに扱うかが普遍的に重要な課題となってきた。現在では、天文や物理学、化学などの個々の科学分野での発展に加え、応用数理や量子情報からの知見を取り入れた情報圧縮手法が注目を集めている。本講義では、情報圧縮の基礎となる線形代数、特に特異値分解等を用いた、行列・テンソルの低ランク近似の紹介から始め、物質科学や素粒子理論で自由度の効率的な圧縮に用いられている行列積状態それを拡張したテンソルネットワーク状態、効率的な圧縮の背景にあるエンタングルメントの概念、さらにはテンソルネットワークの量子計算への応用について学ぶ。

In today's computational science, various problems ranging from galaxy dynamics to entanglement between qubits are being studied. When dealing with these problems on a (classical) computer, a common issue is how to compress the vast degrees of freedom of the target problem and efficiently represent them in a finite memory. In particular, in many-body problems, the number of degrees of freedom often increases exponentially with the number of components, so how to handle the vast number of degrees of freedom has become a universally important issue. Nowadays, in addition to developments in individual scientific fields such as astronomy, physics, and chemistry, data compression methods that incorporate knowledge from applied mathematics and quantum information are attracting attention. In this lecture, we introduce linear algebra, especially low-rank approximation of matrices and tensors using singular value decomposition, which is the basis of data compression. Then, we discuss matrix product state and its generalization, i.e., tensor network state, which are used to efficiently compress degrees of freedom in material science and particle theory, the concept of entanglement in the background, and the application of tensor network to the quantum computing.