大学院
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最終更新日：2026年10月16日
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統計物理学
トポロジカル秩序入門：非局所秩序と対称性のゲージ化
Introduction to topological order: Nonlocal order and the Gauging of Symmetry
(Course given in English)
本講義では、現代物性物理学における「トポロジカル相」と「対称性」の概念を、具体的な格子模型を通じて統一的に理解することを目的とする。従来のLandau理論では、秩序は局所秩序変数と対称性の自発的破れによって特徴づけられる。しかし、Haldane相やToric Codeに代表されるトポロジカル相では、秩序は線演算子など非局所演算子によって特徴づけられる。
本講義では、
•Haldane鎖におけるストリング秩序とKennedy–Tasaki変換
•Ising模型の双対性と対称性のゲージ化
•Toric Codeにおける線演算子とエニオン
•一般化対称性（higher-form symmetry）による再解釈
を順に扱い、秩序変数の“支持次元”の上昇と、それに対応する対称性概念の拡張という視点から現代的相の理解を目指す。
The aim of this course is to provide a unified understanding of the concepts of topological phases and symmetry in modern condensed matter physics through concrete lattice models. In conventional Landau theory, phases of matter are characterized by local order parameters and spontaneous symmetry breaking. However, in topological phases such as the Haldane phase and the Toric Code, order is characterized by nonlocal operators (line operators) rather than local observables.
In this course, we will study:
•String order and the Kennedy–Tasaki transformation in the Haldane chain
•Duality in the Ising model and the gauging of global symmetries
•Line operators and anyons in the Toric Code
•Reinterpretation of topological order in terms of generalized symmetries (higher-form symmetries)
Through these topics, we aim to understand modern phases of matter from the viewpoint of the increasing support dimension of order parameters and the corresponding extension of symmetry concepts.
本講義では、現代物性物理学における「トポロジカル相」と「対称性」の概念を、具体的な格子模型を通じて統一的に理解することを目的とする。従来のLandau理論では、秩序は局所秩序変数と対称性の自発的破れによって特徴づけられる。しかし、Haldane相やToric Codeに代表されるトポロジカル相では、秩序は線演算子など非局所演算子によって特徴づけられる。
本講義では、
•Haldane鎖におけるストリング秩序とKennedy–Tasaki変換
•Ising模型の双対性と対称性のゲージ化
•Toric Codeにおける線演算子とエニオン
•一般化対称性（higher-form symmetry）による再解釈
を順に扱い、秩序変数の“支持次元”の上昇と、それに対応する対称性概念の拡張という視点から現代的相の理解を目指す。
The aim of this course is to provide a unified understanding of the concepts of topological phases and symmetry in modern condensed matter physics through concrete lattice models. In conventional Landau theory, phases of matter are characterized by local order parameters and spontaneous symmetry breaking. However, in topological phases such as the Haldane phase and the Toric Code, order is characterized by nonlocal operators (line operators) rather than local observables.
In this course, we will study:
•String order and the Kennedy–Tasaki transformation in the Haldane chain
•Duality in the Ising model and the gauging of global symmetries
•Line operators and anyons in the Toric Code
•Reinterpretation of topological order in terms of generalized symmetries (higher-form symmetries)
Through these topics, we aim to understand modern phases of matter from the viewpoint of the increasing support dimension of order parameters and the corresponding extension of symmetry concepts.
時間割／共通科目コード
コース名
教員
学期
時限
35603-0038
GSC-PH6440L2
統計物理学
岡 隆史
火曜4限
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講義使用言語
日本語/英語
単位
2
実務経験のある教員による授業科目
NO
他学部履修
可
開講所属
理学系研究科
授業計画
(I) 非局所秩序とSPT相
Haldane鎖やAKLT模型を例に、ストリング秩序や非局所変換を通して、対称性に保護されたトポロジカル相（SPT相）の基本構造を理解する。
(II) 双対性と対称性のゲージ化
Ising模型の双対性を出発点に、大域対称性を局所対称性へ拡張する「ゲージ化」の手法を学び、格子ゲージ理論の基本構造を理解する。
(III) トポロジカル秩序とエニオン
Toric Codeを代表例として、エニオン統計、トポロジカル基底縮退など、内因性トポロジカル秩序の基本的性質を学ぶ。
(IV) 一般化対称性による統一的理解
0-form対称性の復習から出発し、1-form対称性などの一般化対称性の概念を導入することで、トポロジカル秩序を「対称性の破れ」として再解釈する。必要に応じてアノマリーとの関係にも触れる
(I) Nonlocal Order and SPT Phases
Using the Haldane chain and the AKLT model as examples, we study string order and nonlocal transformations to understand the basic structure of symmetry-protected topological (SPT) phases.
(II) Duality and Gauging of Symmetry
Starting from duality in the Ising model, we introduce the procedure of “gauging” a global symmetry, extending it to a local symmetry, and examine the basic structure of lattice gauge theories.
(III) Topological Order and Anyons
Using the Toric Code as a representative example, we study anyon statistics, topological ground-state degeneracy, and other fundamental properties of intrinsic topological order.
(IV) Unified Perspective via Generalized Symmetry
Beginning with a review of conventional (0-form) symmetries, we introduce generalized symmetries such as 1-form symmetry and reinterpret topological order as a form of symmetry breaking.
Connections to anomalies will be discussed as appropriate.
授業の方法
黒板、スライド、文献資料
Blackboard, slides and literature handouts
成績評価方法
レポート提出
Report
履修上の注意
学部レベルの量子力学・統計力学、Ising模型の基本的理解、第二量子化の基礎
Quantum mechanics and Statistical mechanics (undergrad level), Basics of Ising model, Second quantization.
