微分積分学続論

S2タームの「微分積分学①」で以下の項目1,2を扱い，Aセメスターの「微分積分学②」で項目3～6を扱うことを目安とするが，担当教員によって，順序や内容に一部変更が加えられる場合がある． 参考のため「微分積分学②」の内容を併せて示す． S2ターム 1. 一変数関数の微分： 「数理科学基礎」で学んだ関数の極限の概念と一変数関数の微分の定義に基づいて，微分の基本的な性質を論ずる．平均値の定理を用いてテーラーの定理を示し，関数をべき級数として表示するテーラー展開を扱う． 2. 多変数関数の微分 ： 二変数関数の場合を中心として偏微分と全微分を扱う．二変数の関数のグラフの接平面，合成関数の微分の連鎖律を学ぶ．また，パラメータ表示された曲線の速度ベクトル，平面曲線の法線ベクトルを扱う．二変数関数の陰関数定理についてもふれる． Aセメスター 3. 多変数関数の微分（続き）： 高階偏微分，偏微分の順序交換ができるための十分条件，多変数関数のテーラーの定理を扱う．また，二変数関数の極大極小問題，有界閉領域における最大最小問題を考える． 4. 一変数関数の積分 ： 区分求積法に基づいて定積分の性質を論じる．定積分の区間の端点を動かすことによって不定積分を導入し，「不定積分はもとの関数の原始関数である」という微分積分学の基本定理を得る．また，具体的に不定積分が求められる積分の計算を，広義積分，すなわち，無限区間における積分や区間の端で発散する関数の積分も含めて，主に演習で扱う． 5. 多変数関数の積分 ： 二変数関数の場合を中心にして，リーマン積分による多重積分の定義を与える．さらに，多重積分を一変数の積分の繰り返しとして累次積分で表示する．また，ヤコビ行列式を用いた多重積分の変数変換の公式（直交座標と極座標の変換など）を扱い，その応用（面積，体積，平均値など）を論ずる． 6. 無限級数と広義積分 ： べき級数などの関数列の収束，とくに，関数項の級数についての優級数定理，べき級数の収束半径，関数列の一様収束などについて学ぶ．また，極限と微分，積分の順序交換がどのような場合に許されるかを考察する．さらに，広義積分の収束条件について論ずる．広義積分の例として，ガウスの正規分布関数の無限区間における積分を計算する．

授業は講義形式で行うが，担当教員によって適宜小テストやレポートを課すことがある. 付属の演習は授業と一体である．

主として定期試験によるが、担当教員によって小テストやレポートを含めて評価する場合がある．

この科目は、Aセメスターに開講される「微分積分学②」と内容的に接続するが、科目としては別々であり、成績評価・単位認定も、「微分積分学①」はS2ターム末の定期試験をもとに、「微分積分学②」はAセメスター末の定期試験をもとに、教員によっては小テストやレポートも含めてそれぞれお行われる．履修届も別々に行わなくてはならない．