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微分積分学続論

微分積分学続論
多変数の微分積分学における様々な基本的手法を取り上げ,例を中心として必要な理論を学び,具体的な問題を扱えるようにする. 数学・物理学はもちろんのこと,幅広い理学・工学で用いられる重要かつ有用な手法を取り扱うので,将来少しでも数学的道具を使うのであれば必須の内容である.
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時間割/共通科目コード
コース名
教員
学期
時限
30371
CAS-GC2F11L1
微分積分学続論
權業 善範
S1 S2
火曜2限
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教室
講義使用言語
日本語
単位
2
実務経験のある教員による授業科目
NO
他学部履修
不可
開講所属
教養学部(前期課程)
30372
CAS-GC2F11L1
微分積分学続論
三竹 大寿
S1 S2
火曜2限
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教室
講義使用言語
日本語
単位
2
実務経験のある教員による授業科目
NO
他学部履修
不可
開講所属
教養学部(前期課程)
31021
CAS-GC2F11L1
微分積分学続論
中野 雄史
S1 S2
木曜5限
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教室
講義使用言語
日本語
単位
2
実務経験のある教員による授業科目
NO
他学部履修
不可
開講所属
教養学部(前期課程)
31022
CAS-GC2F11L1
微分積分学続論
三竹 大寿
S1 S2
木曜5限
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教室
講義使用言語
日本語
単位
2
実務経験のある教員による授業科目
NO
他学部履修
不可
開講所属
教養学部(前期課程)
授業計画
講義内容はおおむね以下の通りであるが,担当教員によっては順序や内容に一部変更が加えられる場合がある. 1. ヘッシアンによる極値判定法:多変数関数の極値判定は広汎な分野に おける重要なテーマである. ヘッシアンと呼ばれる2階偏微分を用いて定まる実対称行列,および対応した2 次形式を行列の対角化の理論を用いて調べることにより,関数が極値を取るため の十分条件を与える. 最大・最小問題への応用や,誤差評価のための最小二乗法なども扱う. 2. ラグランジュの未定乗数法:体積が1の直方体のうちその表面積が最小となるものは何か,という問のように,変数がいくつかの関係式によって拘束されている場合に,多変数関数の極値を考えることがしばしば起こる. これを偏微分法によって判定するラグランジュの未定乗数法を学ぶ. そのための準備として,関係式f(x1,…,xn)=0が与えられたとき,その偏微分に関する適当な条件の下で,一つの変数が他の変数の関数として表されること(陰関数定理)を理解する. 更に,ユークリッド空間上の変換が局所的に可逆であるためのその微分に関する十分条件(逆写像定理)を与え,いくつかの関数の共通零点として表される図形のパラメータ表示について考察する. 3. 重積分の変数変換と高次元極座標:二重積分の平面極座標による変数変換を用いるアイデアは,exp(-x^2)の積分計算を平易なものにした. 高次元空間の球体の体積などは,対称性に着目した変数で書き表し,変数変換を用いることにより求め易くなる. 高次元極座標への変数変換による積分の計算,ラプラシアンの空間極座標表示を用いる計算など,多様な実例を通して変数変換の考え方を学ぶ. 4. パラメータを含む積分, 積分記号下での微分積分:積分,特に広義積分により定義される関数の微分積分を扱う. その基礎理論である関数族の一様収束は,難解な部分もあるが,理学・工学での応用面において極めて有用な理論である. 具体例としてラプラス変換,フーリエ変換(正弦変換,余弦変換),ガンマ関数の導関数などを扱う.
授業の方法
講義形式であるが,担当教員によっては適宜小テストやレポートを課すことがある.
成績評価方法
主として定期試験によるが、担当教員によっては小テストやレポートを含めて評価する場合がある.
履修上の注意
この科目は、火曜2限と木曜5限にそれぞれ2人の教員によって開講されるが、扱う題材や順序に違いのある場合もある。登録した曜限・教員のクラスの定期試験を受けること。