解析学基礎

講義内容はおおむね以下の通りであるが，順序や内容に一部変更を加える場合がある． 1. デデキントの切断：実数は中学校以来よくわかったものと思われているかもしれないが，高校数学までではその厳密な定義は教えられていない．ここではデデキントの切断と呼ばれる手法に基づく実数の定義を現代数学の立場から解説する．関連して，完備化と呼ばれる手法を用いた実数の定義についても述べる． 2. 実数の連続性：実数が「隙間なく詰まっている」ということを数学的に言い表したものが「実数の連続性」であり，実数の鍵となる性質である．その様々な定式化とそれらの帰結について解説する． 3. ε-δ論法：数列，関数の収束についてε-δ論法を用いた定義と，その基本性質の証明を与える． 4. 中間値の定理：高校数学では直感的に説明されていた中間値の定理について，実数の連続性に基づいた証明を与える． 5. 最大値の定理：高校数学では軽くふれられていただけの最大値の定理について，実数の連続性に基づいた証明を与える． 6. 平均値の定理：高校数学では厳密な取り扱いのなされていなかった平均値の定理について，実数の連続性に基づいた証明を与える． 7. コンパクト性：n 次元ユークリッド空間に含まれる集合のうち，有界閉集合と呼ばれるものはコンパクト性という特別に良い性質を持っている．このことを主張するのがハイネ・ボレルの定理である．これについて証明を与え，その意味，使い方について解説する． 8. リーマン積分：一変数のリーマン積分について理論的な取り扱いを示し，有界閉区間上の連続関数がリーマン積分可能であることを証明する．

講義形式であるが、小テストやレポートを課す場合がある．

原則として定期試験によるが、小テストやレポートを課した場合にはこれらを含めて評価する．

この科目は1年生も履修可能である．この科目は複数開講されるが，扱われる題材は全く同一でなかったり，扱われる順序に違いのある場合がある．また，単位を取得するためには登録した曜限・教員の試験を受ける必要がある．

初回の講義はオンラインで行う予定である．前半をガイダンスに充て，後半は講義を行う．