数理情報学

与えられた関数の最小値を求める最適化問題は古くから膨大な研究が蓄積されており、近年発展著しい機械学習・人工知能を始め幅広く応用されていることは改めて言及するまでもないほどである。その一方で、最適化問題のアルゴリズムによりなぜ最適解・最適値が求まるのか、さらに言えば「反復的な近似列が厳密な最適解に収束するのはなぜか？収束を証明するために必要な仮定は何か？」という問いに対する数学的な正当化はそれほど自明ではない。本講義では、そのような収束証明の観点から、最急降下法を始めとした基本的な最適化アルゴリズムの数学的な性質を理解することを目標にする。特に最適解自身の収束性を議論するときに関数の凸性が重要になるため、凸解析の入門的な内容も解説する。微分できない関数の最適化が摩擦や接触といった非線形力学の問題とも関連していることや、そのような問題に対する解法として知られるsemismooth Newton法についても紹介したい。