計算数理[数理自然科学コース]

数値解析の基礎

現代の科学技術の諸分野において，扱う現象を数式を用いて表し（数理モデル化），得られた数理モデルの解を解析するというアプローチは必須のものとなっている．ところが，数理モデルの解（厳密解）を陽に書き下すことは不可能なことが多く，コンピュータを用いた数値計算で近似解を得るのが有力な選択肢となる．本講義では，数値計算を行う対象として最も基礎的な問題（連立一次方程式・非線形方程式・関数の補間・積分・常微分方程式）を取り上げ，数値解析の手法や考え方を紹介する．

数値解析の立場では，特に(1)「アルゴリズム導出のアイデア」，(2)「アルゴリズムの数学的正当化」の2点が重要である．上に挙げた基礎的な問題ですら，厳密に解を求める手軽な公式がない・公式があっても数値計算には現実的ではないといった状況に直面するため，元の問題に対して「近似」や「離散化」といった操作を施し，コンピュータで計算可能な公式（アルゴリズム）を得る．このとき，最終的なアルゴリズムに到達するための近似や離散化のアイデアを理解するのが(1)の段階である．さらに，（一般に同値変形でない）近似や離散化の操作を行っても本当に問題ないのかということをきちんと考察するのが(2)の段階である．いずれのステップにおいても，数学的議論が理論の土台として重要な役割を果たしていることを解説する．

講義で学んだアルゴリズムをプログラムとして実装し，実際に数値計算を行ってその有効性を確かめる実習を行うことが望ましいが，そのために計算数理演習の履修もすすめる．なお，進度に応じて講義内容を変更する場合がある．

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