数理科学続論A

偏微分方程式が定義された領域や係数関数を変数とした最適化問題の解の存在と解法について学ぶ．偏微分方程式は実世界のさまざまな現象をモデル化する際に使われる．通常は，偏微分方程式が定義された領域や係数関数は適切に与えられたと仮定して，境界条件に対する解を求めることが基本となる．それに対して，本講義では，領域や係数関数は変動すると仮定して，偏微分方程式の解を用いて定義された汎関数を最小化するような領域や係数関数を求める問題について考える．この問題は関数空間上で定義された関数最適化問題の一つとなることから，関数解析学の成果を用いて解の存在や解法について議論することができる．この講義では，講演者の考えを紹介するが，参加者との議論を通してより理解を深めたいと考えている．また，授業の進展に応じて内容を変更することがある．/We learn about the existence and solution methods of optimization problems of the domains and coefficient functions used in partial differential equations. Partial differential equations are used to model various phenomena in the real world. Normally, it is basic to find solutions to boundary conditions by assuming that the domains in which the partial differential equations are defined, and the coefficient functions are appropriately given. On the other hand, in this lecture, we will assume that the domains and coefficient functions vary, and consider the problems of finding the domains and coefficient functions that minimizes the functionals defined using the solutions of partial differential equations. Since these problems are function optimization problems defined on function spaces, we can use the results of functional analysis to discuss the existence of solutions and solution methods. In this lecture, the speaker's ideas will be introduced, but we hope to deepen our understanding through discussion with the participants. Additionally, the content may change depending on the progress of the class.