数学続論XC

多様体上の可微分力学系理論における基本的なクラスに Axiom A 系 と呼ばれる力学系がある。このクラスは構造安定性を特徴付けようとする試みを通して定義された。このクラスの力学系理論は双曲理論としてすでに完成されているが、そのクラス以外の力学系を研究する上でも避けては通れない基本的な理論である。この講義では、まずAxiom A 微分同相写像 に対する双曲理論の基本事項を扱う。次に、簡単なエルゴード理論の基礎を準備した後、Jenkinson による TPO(Typically Periodic Optimization)予想を Axiom A 微分同相写像に対して考える。この TPO 予想とは、「ある種の双曲性を持つ力学系と、適切な連続性を持つ関数からなるバナッハ空間に対し、そのバナッハ空間の開かつ稠密な部分集合が存在して、その中の関数を固定したとき、その関数に関するエルゴード平均が最大化されるエルゴード測度は１つの周期軌道上にサポートされるエルゴード測度になる。」というものである。つまり、非自明な双曲性はカオスをもたらすが、ある意味でその振る舞いを表す多くの関数は、実は単独の周期軌道上で最大化される、という意味を持つ。これは
1990年代の論文 Yuan-Hunt による論文の中で与えられた Axiom A 微分同相写像と連続微分可能またはリプシッツ連続な多様体上の関数に対する予想を一般化したもので、その論文では、リプシッツ連続な場合について、Axiom A 微分同相写像が Class I と呼ばれるクラスに含まれるとき正しいことを証明している。そのYuan-Hunt 予想自体は最近ほぼ解決したと思われるが、彼らがその論文で展開した議論は比較的基礎的な知識で証明できるため、上記の双曲理論とエルゴード理論の良い応用と考えられるだけでなく、最近発展しているエルゴード最適化問題の入門としてふさわしい。この講義ではこの部分の解説を目標とする。