代数学XA

可換環論入門

20世紀後半に可換環のホモロジカルな研究が急速に発展した。その先駆けとなったのが、A. Auslander、D. Buchsbaum、J.-P. Serreによる、大域次元を用いた正則局所環の特徴付けである。この研究をさらに推し進めて、Cohen-Macaulay環の概念が導入された。1960年代に入ると、Grothendieckによってホモロジカルな研究は体系化され、Gorenstein環、標準加群、局所コホモロジーなど、今日の可換環論には欠かすことのできない道具が整備された。本講義ではこれらの事項について解説し、可換環論におけるホモロジカルな手法の基礎を習得することを目標とする。

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時間割／共通科目コード

コース名

教員

学期

時限

0505071

FSC-MA4511L1

代数学XA

高木　俊輔

S1 S2

水曜2限

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教室

講義使用言語

日本語

単位

実務経験のある教員による授業科目

他学部履修

可

開講所属

理学部

授業計画

以下の内容を扱う予定である。 (0) ホモロジー代数の概説（入射加群、Matlis双対性、Ext、Torの定義など） (1) 局所コホモロジーの定義と基本性質 (2) 大域次元とAuslander-Buchsbaum-Serre公式 (3) Cohen-Macaulay環とGorenstein環 (4) 局所双対定理 (5) 局所双対定理の応用（Samuel予想の肯定的解決）

授業の方法

第1回、第2回はオンラインにて行う。第3回以降は新型コロナウイルス感染症の感染状況を考慮して判断する。

成績評価方法

レポートによる。課題は講義中に提示する。

教科書

なし

参考書

[1] 堀田良之『環と体』（岩波書店） [2] 松村英之『可換環論』（共立出版） [3] W. Bruns & J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press.

履修上の注意

学部3年次の代数学（特に代数学I、II）の知識を仮定する。

Open UTokyo OCW

Open UTokyo OPAC

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