主題: 微分幾何とトポロジー 接続とリーマン幾何入門
1. 平面曲線と空間曲線
平面曲線 弧長、曲率の定義 曲率の幾何学的意味 例 楕円
曲率の任意変数の公式、ガウス表示、閉曲線の回転数
空間曲線 曲率 捩れ率 Frenet-Serret の公式 例 常螺旋
曲線に沿った質点の運動 向心力の導出
2. 空間曲面の小域的理論
空間曲面の二変数表示の例 球面、回転放物面、輪環面(トーラス)
第一基本形式 接平面上の接ベクトルの長さを与える
第二基本形式 曲面の臨界値近くの形状(ヘッセ行列)
曲面上の曲線の曲率: 測地的曲率と法曲率
微分についての注意 (高木貞治「解析概論第2章」より)
3. ガウス曲率と平均曲率 曲面の曲がり具合を表す一つの指標
主曲率: 曲面上の点を通る曲線の法曲率の極値
ガウス曲率の幾何学的意味 ガウスの球面表示
平均曲率の幾何学的意味 極小曲面
Christoffel 記号の導入
4. 正規直交標構を用いる方法(2章4節)と接続
接続形式の導入
共変微分と平行移動(3章4節)
例: 球面上のベクトルの平行移動
コリオリ力やフーコーの振り子、緯線に沿ったベクトルの平行移動
5. 測地線(3 章5 節)
測地線の定義: 測地的曲率ベクトルと法曲率ベクトル
測地線の例: 大円(球面上の測地線)、円筒面や輪環面上の測地線
測地線の方程式
最短線としての測地線 (3 章6節)
変分原理 (仮想仕事の原理、 最小作用の原理)
6. 2変数の微分形式(2章5節)
ベクトル解析の微分演算(発散、回転)を微分形式で表す
微分形式を使う方法(2章6節) 第一構造式、第二構造式
7. 曲面上の幾何(3章)
リーマン計量
曲面の構造方程式(3章2節)
ガウスの驚くべき定理
8. 微分形式の積分と一般化ストークスの定理(4章1節)
Gauss-Bonnet の定理 境界のある領域の場合
9. Gauss-Bonnet の定理 閉曲面の場合
オイラー数、曲面の種数(genus)
10. 特殊相対性理論の基礎 (相対性理論の1章と2章)
光速度不変の原理、ローレンツ変換
反変ベクトル、 共変ベクトル
四元ベクトル、固有時間
11. 一般相対性理論の基礎
一般共変性の要請 慣性力(コリオリ力や遠心力)と真の力
等価原理
12. リーマン幾何入門
計量テンソル、共変微分(接続)、ベクトルの平行移動(再登場)
リーマンの曲率テンソル
13. 重力場の方程式
運動の軌跡としての測地線 (Christoffel 記号と接続形式の関係)
アインシュタイン方程式