学部後期課程
HOME 学部後期課程 幾何学XE
過去(2020年度)の授業の情報です
学内のオンライン授業の情報漏洩防止のため,URLやアカウント、教室の記載は削除しております。
最終更新日:2024年3月15日

授業計画や教室は変更となる可能性があるため、必ずUTASで最新の情報を確認して下さい。
UTASにアクセスできない方は、担当教員または部局教務へお問い合わせ下さい。

幾何学XE

この講義では量子展開環とその標準基底(結晶基底ともいう)を取り扱います. 量子展開環は,複素単純Lie環の普遍展開環の量子変形であり, Drinfeldと神保により独立に導入されました.. もともとは可解格子模型の研究に由来があるのですが, この講義ではLie環とその表現論の自然な拡張であるという立場から取り扱います. 標準基底は, Lusztigによって導入された量子展開環の上三角部分環の基底で, さまざまなよい性質を持つものです. 同時期に柏原によって定義された結晶基底と一致することが, のちに証明されました. この基底は複素単純Lie環の表現論自体にも多くの応用を産み出しました. 講義の前半では, 標準基底の定義を初等的に与え, その性質を調べます. 後半では, 有限次元代数(箙の道代数)の表現論との関連である, Ringel-Lusztigの理論を紹介する予定です.
/
In these lectures, we discuss canonical bases (also called crystal bases) of quantum enveloping algebras. Quantum enveloping algebras are quantum deformation of universal enveloping algebras of complex simple Lie algebras, introduced by Drinfeld and Jimbo independently. They have origin in statistical mechanics, but we treat them as natural generalization of Lie algebras and their representations. Canonical bases were introduced by Lusztig, as bases of the upper triangular subalgebras of quantum enveloping algebras, and enjoy various nice properties. it was shown afterwards that they coincide with crystal bases introduced by Kashiwara around the same time. The canonical bases gave many applications to representation theory of original Lie algebras. In these lectures, I first give an elementary definition of canonical bases, and explain their properties. In the second half, I will explain Ringel-Lusztig theory which connects quantum enveloping algebras and representation theory of path algebras of quivers.
MIMA Search
時間割/共通科目コード
コース名
教員
学期
時限
0505083
FSC-MA4525L1
幾何学XE
中島 啓
A1 A2
月曜2限
マイリストに追加
マイリストから削除
講義使用言語
日本語
単位
2
実務経験のある教員による授業科目
NO
他学部履修
開講所属
理学部
授業計画
1. 量子展開環の定義と最高ウェイト加群 2. 組み紐群の作用 3. PBW 基底 4. 標準基底 5. 箙の道代数とその表現を用いた量子展開環の構成 / 1. quantum enveloping algebras and their highest weight representations 2. braid group operators 3. PBW bases 4. canonical bases 5. path algebras of quivers and their representations - construction of quantum enveloping algebras
授業の方法
講義による / By lectures
成績評価方法
講義の途中に提出される問題を解答し、レポートとして提出する / Submission of reports solving problems given during lectures.
教科書
なし / none
参考書
Hong-Kang, Introduction to quantum groups and crystal bases, GSM 42, AMS Jantzen, Lectures on quantum groups, GSM 6, AMS Lusztig, Introduction to quantum groups, Progress in Math. 110, Birkhauser
履修上の注意
予備知識は, 谷崎「リー代数と量子群」, Humphreys「Introduction to Lie Algebras and Representation Theory」などの教科書にあるような複素単純Lie環の基本的な事柄は, 証明なしに使うことになる予定です. / We use basic materials such as explained Humphreys' Introduction to Lie Algebras and Representation Theory without proofs.
その他
予習の必要はないが、毎回復習することが望ましい。 / No need for preparation for classes, but better to review afterwards.