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数理科学研究科 Mathematical Science

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45901-01
代数幾何学
Algebraic Geometry
川又 雄二郎
Yujiro Kawamata
A1A2 金曜2限
Fri 2nd
代数幾何学

代数幾何学のトピックスを選んで解説する。

単位 Credit:2
他学部 Other Faculty:可 YES
講義使用言語 Language:日本語 Japanese
45901-02
整数論
Number Theory
辻 雄
Takeshi Tsuji
A1A2 木曜2限
Thu 2nd
p進Hodge理論

最近のB.Bhatt, M.Morrow, P.Scholzeによる整p進Hodge理論とその後の進展について解説する.

単位 Credit:2
他学部 Other Faculty:可 YES
講義使用言語 Language:日本語 Japanese
45901-05
応用代数学
Applied Algebra
寺田 至
Itaru Terada
A1A2 木曜3限
Thu 3rd
Young図形の組合せ論

具体的な題材を通じて、組合せ論的な概念や考え方、および組合せ論と他の分野とに関連する対象のおもしろさを紹介する。今回も、対称群や一般線型群の表現論に現れるYoung図形やLittlewood-Richardson係数に関連する組合せ論の話題を紹介する。

単位 Credit:2
他学部 Other Faculty:可 YES
講義使用言語 Language:日本語 Japanese
45901-09
大域解析学
Global Analysis
二木 昭人
Akito Futaki
S1S2 月曜2限
Mon 2nd
ケーラー多様体の微分幾何

ケーラー多様体に関するトピックをいくつか取り上げる.特に安定性とスカラー曲率一定計量の存在についての問題,及びその問題の一般化に関する最近の結果について講義する.

単位 Credit:2
他学部 Other Faculty:可 YES
講義使用言語 Language:日本語 Japanese
45901-109
数物先端科学Ⅰ
Frontiers of Mathematical Sciences and Physics Ⅰ
小木曽 啓示
OGISO Keiji
A1A2 月曜3限
Mon 3rd
数物先端科学Ⅰ

双有理代数幾何学の最近の話題から題材を選び講義する。

単位 Credit:2
他学部 Other Faculty:可 YES
講義使用言語 Language:日本語 Japanese
45901-111
数物先端科学Ⅲ
Frontiers of Mathematical Sciences and Physics Ⅲ
小林 俊行
Toshiyuki Kobayashi
A1A2 火曜3限
Tue 3rd
リー群と表現論 Lie Groups and Representation Theory

有限次元およおび無限次元における対称性を記述する表現の理論について、 幾何的なアイディアおよび解析的な手法について基本的に重要な事柄を解説する。 時間が許せば、表現の分岐則に関する最先端の理論やその考え方を具体的な例を通じて紹介する。

単位 Credit:2
他学部 Other Faculty:可 YES
講義使用言語 Language:日本語 Japanese
45901-113
数物先端科学Ⅴ
Frontiers of Mathematical Sciences and Physics Ⅴ
山本 昌宏
Masahiro Yamamoto
A1A2 火曜3限
Tue 3rd
非整数階偏微分方程式論と逆問題

熱方程式や波動方程式などのように現れる導関数の階数が自然数である偏微分方程式は、おびただしい研究成果があり理論が完備されている。一方で、ライプニッツにまで起源がさかのぼる非整数階の導関数を含む偏微分方程式は、異常拡散現象などのモデル方程式として最近注目を集めているが、関数空間を適切に設定したうえで弱解などを論じる研究はまだ完全とはいえない。本講義では古典的な偏微分方程式論に準拠した上で、非整数階偏微分方程式論の構築を目指し、逆問題にういても解説する。

単位 Credit:2
他学部 Other Faculty:可 YES
講義使用言語 Language:日本語 Japanese
45901-115
数物先端科学Ⅶ
Frontiers of Mathematical Sciences and Physics Ⅶ
WILLOX RALPH
WILLOX RALPH
A1A2 月曜2限
Mon 2nd
無限次元可積分系

無限次元可積分系への入門として、様々な観点から非線形偏微分方程式における「可積分性」について講じる。対称性という概念から出発し、方程式の保存量や特殊解、またはハミルトン構造などについて説明する。さらに、無限次元可積分系に付随する線形問題(Lax pair)と保存量との関係、線形問題の拡張から得られる無限次元可積分系の階層と対称性(ダルブー変換)及び、その階層のタウ関数について講じる。最後に無限次元可積分系の離散化における課題もいくつか紹介する予定である。

単位 Credit:2
他学部 Other Faculty:可 YES
講義使用言語 Language:日本語 Japanese
45901-116
数物先端科学Ⅷ
Frontiers of Mathematical Sciences and Physics Ⅷ
米田 剛
S1S2 水曜3限
Wed 3rd
乱流の数学的洞察に関する入門

本講義のトピックは「乱流の純粋数学的洞察」に関する入門である。乱流とはその名の通り「乱れた流れ」のことであり、加湿器の噴出口から出てくる水蒸気やコーヒーの中にコーヒーミルクを入れてそのままスプーンでかき混ぜたときに出来る乱れた流れの様子が好例である。流体運動が関わる工学的諸問題において、ほぼ例外なくこの「乱流」が本質的に関わってくる。 本講義では、ミレニアム未解決懸賞問題を提供しているNavier-Stokes方程式(及びEuler方程式)の数学解析を出発点としている(よって次元解析は極力使わない)。想定している数学知識は、基本的なもののみを念頭に置いており、よって初学者でも理解できるように十分に配慮している。微分積分学、線形代数、ベクトル解析あたりを事前に習得していれば十分であろう。偏微分方程式の素養が身につくだけではなく、「乱流現象」という工学上も重要な流体現象についての素養も身につくことを狙いとしている。また、最近、Sano-Tamai(2016)は、パーコレーションという確率論の概念を使った乱流遷移の研究を進捗させている。従って、今まで確率・統計、特に相転移現象などを学んできた者にとっても(乱流とは何か、を知るきっかけとして)本講義は有意義であろう。 本講義のより具体的なテーマは「2次元乱流のエネルギー逆カスケードにおける局所的な特徴的振る舞い」である。2次元乱流は3次元乱流と違い、エネルギーの逆カスケードが起きることがよく知られている。そのようなエネルギー逆カスケードが起きる際にXiao-Wan-Chen-Eyink(2009)は「vortex thinningという局所的な振る舞いこそが、エネルギー逆カスケードの主要メカニズムだ」という今までにない新たな見解を示した(従来の見解では「vortex mergerが主要な局所的振る舞いである」と言われている)。本講義では、このvortex thinningが起こる流体メカニズムを数学的に考察する。 そのために、先ず最初に、乱流研究で最も重要な概念の一つである「コルモゴロフのべき乗則」を、純粋数学概念を使って説明する。そのようなべき乗則の純粋数学的基礎付けから、エネルギーの順カスケード、逆カスケードという概念が必然的に出てくる。その次に、エネルギー逆カスケードを特徴づけるvortex thinningという流体運動を、Euler方程式を使って考察する。そのようなvortex thinningは、大スケールによる双曲型流れによって生成される。なお、Euler方程式による双曲型流れの純粋数学研究は、Kiselev-Sverak(2014)やBourgain-Li(2015)のbreakthroughをきっかけにして、今現在も進展しているホットなトピックである。 最後に、Navier-Stokes方程式・Euler方程式の解の一意存在定理を説明する。流体方程式の解の存在定理を理解するためには、ルベーグ積分や関数解析、ソボレフ空間といった解析学的諸概念が必要になってはくるが、それらに関しては、その都度、必要になったときに改めて丁寧に説明(復習)することにする。

単位 Credit:2
他学部 Other Faculty:可 YES
講義使用言語 Language:日本語 Japanese
45901-119
社会数理先端科学Ⅰ
Frontiers of Mathematical Sciences and Society Ⅰ
山本 昌宏
Masahiro Yamamoto
A1A2 集中
Intensive 

単位 Credit:2
他学部 Other Faculty:可 YES
講義使用言語 Language:日本語 Japanese

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